複利、年金與退休規劃工具

01退休規劃的兩個階段

前兩章完成債券、股票與選擇權分析工具。本章回到個人理財中最常見、最實用，也最容易被低估的主題：長期儲蓄、定期定額與退休規劃。退休規劃至少包含兩個不同階段：退休前的資產累積期，與退休後的資產提領期。這兩個階段使用不同的公式和風險考量，必須分開計算。

直覺舉例：目前每月生活費 50,000 元，距退休還有 20 年，若通膨率 2%，退休時維持相同購買力所需月費 = 50,000 × (1.02)²⁰ ≈ 74,297 元。若忽略通膨，退休資金需求可能被嚴重低估。

02退休規劃九步驟流程

03六種年金公式速查（含邊界條件）

退休規劃會用到六種核心公式。每種公式在報酬率為零（r=0）或折現率等於成長率（r=g）時都有特殊邊界條件，程式必須特別處理，否則會發生除以零錯誤。

04提早開始的複利效果

05月報酬率轉換與名目/實質報酬率

有效月報酬率——此公式確保月複利 12 次後精確等於年報酬率。例如年報酬率 5%：月報酬率 = (1.05)^(1/12) − 1 ≈ 0.4074%。

通膨後退休生活費——目前月支出 60,000 元、替代率 80%、通膨 2%、20 年後退休：退休時月費 = 60,000 × 80% × (1.02)²⁰ ≈ 71,325 元。若忽略通膨，需求可能被低估 30–50%。

06退休資金缺口計算流程

每月資金缺口——退休生活費 80,000 元，固定收入（勞保年金 + 租金）30,000 元，每月缺口 = 50,000 元。退休資產只需支應 50,000 元，而非完整 80,000 元。

加計一次性支出：退休資金需求 = 年金現值 + one_time_cost（房修、換車、醫療準備金等）。

07安全提領率

08報酬順序風險（Sequence of Returns Risk）

09Python 退休規劃模組

from dataclasses import dataclass
import math

@dataclass(frozen=True)
class RetirementInput:
    current_age: int
    retirement_age: int
    planning_age: int
    current_assets: float
    monthly_contribution: float
    return_before: float       # 退休前年報酬率（小數）
    return_after: float        # 退休後年報酬率（小數）
    inflation_rate: float
    current_expense: float
    expense_ratio: float       # 退休支出替代率
    retirement_income: float = 0.0
    one_time_cost: float = 0.0

def annual_to_monthly_rate(annual_rate: float) -> float:
    return (1 + annual_rate) ** (1/12) - 1

def future_value_annuity(pmt: float, monthly_rate: float, months: int) -> float:
    if math.isclose(monthly_rate, 0, abs_tol=1e-12):
        return pmt * months
    return pmt * ((1 + monthly_rate) ** months - 1) / monthly_rate

def present_value_growing_annuity(pmt1: float, r: float, g: float, months: int) -> float:
    if math.isclose(r, g, abs_tol=1e-12):
        return pmt1 * months / (1 + r)   # r=g 邊界條件
    return pmt1 / (r - g) * (1 - ((1+g)/(1+r)) ** months)

def simulate_withdrawal_path(
    initial_balance: float, monthly_withdrawal: float,
    monthly_return: float, months: int
) -> list[dict]:
    """模擬退休後資產逐月變化，找出資金耗盡時點。"""
    path = []
    balance = initial_balance
    depleted_month = None
    for m in range(1, months + 1):
        balance = balance * (1 + monthly_return) - monthly_withdrawal
        if balance <= 0 and depleted_month is None:
            depleted_month = m
            balance = 0   # 避免顯示無意義的負值
        path.append({'month': m, 'balance': max(balance, 0)})
    return path

10Streamlit 四分頁退休規劃工具

import streamlit as st

st.set_page_config(page_title='退休規劃工具', page_icon='🏖️', layout='wide')
st.title('退休資金缺口分析器')

tab1, tab2, tab3, tab4 = st.tabs(['退休規劃', '提領模擬', '報酬順序風險', '情境比較'])

with tab1:
    current_age = st.number_input('目前年齡', value=30)
    retirement_age = st.number_input('退休年齡', value=65)
    # ... 其餘輸入欄位、計算與結果卡片 ...

with tab2:
    # 逐月模擬提領路徑，繪製資產餘額折線圖，標示資金耗盡月份
    ...

with tab3:
    # 比較「先虧後賺」與「先賺後虧」兩種相同平均報酬但順序不同的情境
    ...

with tab4:
    # 保守/基準/樂觀三情境並排比較
    ...

11JavaScript 前台退休試算器

前台版本計算通膨後生活費、退休資金需求與資金缺口，適合直接整合至 Cloudflare Pages 靜態網站。完整程式碼可以到「示範分頁」看實際運作結果，也是本章挑戰任務要動手修改的對象。

// ── 年利率轉有效月利率 ───────────────────────────
function annualToMonthlyRate(annualRate) {
  return Math.pow(1 + annualRate, 1/12) - 1;
}

// ── 單筆複利終值 ─────────────────────────────────
function futureValueLumpSum(pv, monthlyRate, months) {
  return pv * Math.pow(1 + monthlyRate, months);
}

// ── 普通年金終值（⚠️ r=0 邊界）────────────────────
function futureValueAnnuity(pmt, monthlyRate, months) {
  if (Math.abs(monthlyRate) < 1e-12) return pmt * months;
  return pmt * (Math.pow(1+monthlyRate, months) - 1) / monthlyRate;
}

// ── 成長年金現值（⚠️ r=g 邊界）─────────────────────
function presentValueGrowingAnnuity(pmt1, r, g, months) {
  if (Math.abs(r - g) < 1e-12) return pmt1 * months / (1 + r); // r=g
  return pmt1 / (r - g) * (1 - Math.pow((1+g)/(1+r), months));
}

// ── 主計算流程（節錄）─────────────────────────────
function handleRetirementCalculation() {
  // ...讀取欄位、驗證年齡邏輯...

  const yur = rAge - cAge, ry = pAge - rAge;
  const accM = yur * 12, retM = ry * 12;      // 年數轉月數
  const mrB = annualToMonthlyRate(rb);         // 年報酬率轉有效月報酬率
  const mrA = annualToMonthlyRate(ra);
  const mrI = annualToMonthlyRate(pi);

  // 退休月生活費（通膨 + 替代率）
  const futureExp = cExp * expR * Math.pow(1+pi, yur);
  const gap = Math.max(futureExp - retInc, 0);

  // 退休所需資金（成長年金 + 一次性支出）
  const required = presentValueGrowingAnnuity(gap, mrA, mrI, retM) * (1 + mrA) + oneTime;

  // 預估退休資產（現有資產終值 + 定期提撥終值）
  const projected = futureValueLumpSum(cAss, mrB, accM) + futureValueAnnuity(mC, mrB, accM);
  const fundGap = required - projected;
}

12三情境比較

13實務案例

14常見錯誤與除錯

15模型限制與風險揭露

退休規劃模型的主要限制：報酬率並非固定（市場波動）；通膨率會變動；壽命無法精確預測；醫療與長期照護支出高度不確定；退休制度可能改革；稅負可能調整；投資費用降低實際報酬；退休初期市場大跌的報酬順序效應；固定收入可能中斷；個人支出可能大幅改變。

16關鍵字

17實作練習

JavaScript 前台退休試算器是純前端計算，可以在瀏覽器中真的執行，所以本章挑戰任務（04 分頁）延續即時執行模式：修改真正會執行的程式碼，系統會即時告訴你哪裡出錯。