債券評價與利率風險分析工具

01債券的六大基本要素

前八章完成了金融網站的基礎建設。從本章開始，正式進入金融專業工具的開發。債券是固定收益市場的重要工具：政府、銀行與企業發行債券取得資金，投資人依約收取利息及到期本金。債券看似固定，但市場價格會隨利率、信用風險、剩餘期限及流動性變動。

例如，投資人持有票面利率 3% 的十年期債券。若市場殖利率升至 5%，原債券票息相對偏低，市場價格通常會下跌。這就是本章要解決的問題：如何計算債券的合理價格、存續期間，以及利率變動時的價格估計。

付息頻率（m）——影響每期票息、每期殖利率與總期數三個變數，計算時必須同步調整：

02票面利率、當期殖利率與到期殖利率

YTM 的六項假設（初學者必知）

03債券現金流量表

一般附息債券（年付息，3 年）——面額 100,000 元、票面利率 4%、每年付息一次：

半年付息債券（5 年，m=2）——總期數 = 5×2 = 10 期，每期票息 = 100,000×4%÷2 = 2,000 元。最後一期（第 10 期）現金流 = 2,000 + 100,000 = 102,000 元。

04債券定價公式

定價案例計算——面額 100,000 元、票面利率 3%、市場殖利率 4%、到期 5 年、年付息一次。年度票息 = 100,000 × 3% = 3,000 元。因為市場殖利率 4% 高於票面利率 3%，所以債券價格低於面額，屬於折價債券（實際計算約 95,548 元）。

05平價、溢價與折價債券

06利率與債券價格的關係

• 長期債券（剩餘期間越長）通常對利率變動更敏感，價格波動較大
• 短期債券現金流較快收回，對利率不敏感
• 低票面利率債券：現金流集中在較遠的到期本金，存續期間較長，利率敏感度較高
• 高票面利率債券：較早收到較多票息，存續期間較短，利率敏感度較低

07麥考利存續期間

麥考利存續期間是以各期現金流現值為權重，計算債券現金流回收時間的加權平均。單位為年，不是期數。

08修正存續期間

修正存續期間（Modified Duration）是麥考利存續期間除以 (1 + 每期殖利率)，用於估計殖利率小幅變動時的債券價格百分比變化。

09凸性（Convexity）

存續期間使用直線近似，當殖利率變動較大時（如超過 1%）誤差明顯。凸性捕捉了曲線的彎曲程度，可改善估計。

10到期殖利率（YTM）的數值求解：二分法

多期附息債券的定價公式包含多個不同次方，無法像單期公式一樣直接代數求解 y，必須使用數值方法。

11Python 債券分析模組

from dataclasses import dataclass
import math

@dataclass(frozen=True)
class BondInput:
    face_value: float
    coupon_rate: float          # 小數，3% → 0.03
    market_yield: float          # 小數
    years_to_maturity: float
    payments_per_year: int = 1

def calculate_bond_price(bond: BondInput) -> float:
    y_per = bond.market_yield / bond.payments_per_year
    N = int(round(bond.years_to_maturity * bond.payments_per_year))
    coupon = bond.face_value * bond.coupon_rate / bond.payments_per_year
    price = 0.0
    for t in range(1, N + 1):
        principal = bond.face_value if t == N else 0.0
        price += (coupon + principal) / (1 + y_per) ** t
    return price

def calculate_macaulay_duration(bond: BondInput) -> float:
    price = calculate_bond_price(bond)
    y_per = bond.market_yield / bond.payments_per_year
    N = int(round(bond.years_to_maturity * bond.payments_per_year))
    coupon = bond.face_value * bond.coupon_rate / bond.payments_per_year
    weighted = 0.0
    for t in range(1, N + 1):
        principal = bond.face_value if t == N else 0.0
        pv = (coupon + principal) / (1 + y_per) ** t
        weighted += (t / bond.payments_per_year) * pv
    return weighted / price

def calculate_modified_duration(bond: BondInput) -> float:
    return calculate_macaulay_duration(bond) / (1 + bond.market_yield / bond.payments_per_year)

def calculate_ytm(face_value, coupon_rate, market_price, years_to_maturity,
                   payments_per_year=1, lower_bound=-0.95, upper_bound=10.0,
                   tolerance=1e-10, max_iterations=1000) -> float:
    def price_diff(annual_yield):
        test_bond = BondInput(face_value, coupon_rate, annual_yield,
                               years_to_maturity, payments_per_year)
        return calculate_bond_price(test_bond) - market_price

    lo, hi = lower_bound, upper_bound
    for _ in range(max_iterations):
        mid = (lo + hi) / 2
        diff = price_diff(mid)
        if abs(hi - lo) < tolerance:
            return mid
        # 殖利率上升→價格下降：理論價格 > 市場價格 → 殖利率偏低 → 提高 lo
        if diff > 0:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return (lo + hi) / 2

12Streamlit 債券分析工具

import streamlit as st
from bond_analysis import BondInput, analyze_bond, estimate_price_change

st.set_page_config(page_title='債券評價與利率風險', page_icon='📈', layout='wide')
st.title('債券評價與利率風險分析')

with st.sidebar:
    face_value = st.number_input('面額', min_value=1.0, value=100000.0, step=1000.0)
    coupon_rate_pct = st.number_input('票面利率（%）', min_value=0.0, value=3.0, step=0.1)
    market_yield_pct = st.number_input('市場殖利率（%）', min_value=-90.0, value=4.0, step=0.1)
    years_to_maturity = st.number_input('到期年數', min_value=0.25, value=5.0, step=0.5)
    payments_per_year = st.selectbox('每年付息次數', [1, 2, 4, 12], index=0)
    yield_change_bps = st.number_input('殖利率變動（基點）', value=100, step=25)

bond = BondInput(face_value, coupon_rate_pct/100, market_yield_pct/100,
                  years_to_maturity, payments_per_year)
result = analyze_bond(bond)

c1, c2, c3, c4 = st.columns(4)
c1.metric('債券價格', f"{result['price']:,.2f} 元")
c2.metric('價格狀態', result['price_type'])
c3.metric('修正存續期間', f"{result['modified_duration']:.4f}")
c4.metric('凸性', f"{result['convexity']:.4f}")

13JavaScript 前台債券計算器

前台 HTML + JavaScript 版本可直接整合至 Cloudflare Pages 靜態網站，不需 Python 環境。完整程式碼可以到「示範分頁」看實際運作結果，也是本章挑戰任務要動手修改的對象。

// ── 債券定價 ─────────────────────────────────────
function calculateBondPrice(faceValue, couponRate, marketYield, years, frequency) {
  const N = Math.round(years * frequency);
  const periodicCpn = faceValue * couponRate / frequency;   // 每期票息
  const periodicYld = marketYield / frequency;                // 每期殖利率
  let price = 0;
  for (let t = 1; t <= N; t++) {
    const principal = t === N ? faceValue : 0;    // 最後一期才還本
    const cashFlow = periodicCpn + principal;
    price += cashFlow / Math.pow(1 + periodicYld, t);   // 折現
  }
  return price;
}

// ── 麥考利存續期間 ───────────────────────────────
function calculateMacaulayDuration(faceValue, couponRate, marketYield, years, frequency) {
  const N = Math.round(years * frequency);
  const periodicCpn = faceValue * couponRate / frequency;
  const periodicYld = marketYield / frequency;
  const price = calculateBondPrice(faceValue, couponRate, marketYield, years, frequency);
  let weightedValue = 0;
  for (let t = 1; t <= N; t++) {
    const principal = t === N ? faceValue : 0;
    const cashFlow = periodicCpn + principal;
    const pv = cashFlow / Math.pow(1 + periodicYld, t);
    const timeInYears = t / frequency;   // 轉換為年
    weightedValue += timeInYears * pv;
  }
  return weightedValue / price;
}

// ── 修正存續期間 ─────────────────────────────────
function calculateModifiedDuration(macaulayDuration, marketYield, frequency) {
  return macaulayDuration / (1 + marketYield / frequency);
}

// ── 凸性 ─────────────────────────────────────────
function calculateBondConvexity(faceValue, couponRate, marketYield, years, frequency) {
  const N = Math.round(years * frequency);
  const periodicCpn = faceValue * couponRate / frequency;
  const periodicYld = marketYield / frequency;
  const price = calculateBondPrice(faceValue, couponRate, marketYield, years, frequency);
  let total = 0;
  for (let t = 1; t <= N; t++) {
    const principal = t === N ? faceValue : 0;
    const cashFlow = periodicCpn + principal;
    total += cashFlow * t * (t + 1) / Math.pow(1 + periodicYld, t + 2);
  }
  return total / (price * frequency * frequency);
}

14操作實務與七項測試案例

15基點（Basis Point，bps）換算

基點是利率變動的常用單位，1 基點 = 0.01% = 0.0001。

// ✗ 錯誤：100 基點以為是 100%
yieldChange = 100;              // 這是 100%！

// ✓ 正確：100 基點 = 1% = 0.01
const yieldChange = 100 / 10000;   // = 0.01

16實務案例

17常見錯誤與除錯

18模型限制與風險揭露

本章債券定價模型的標準假設：現金流確定、不發生違約、市場殖利率可作為折現率、票息按時支付、沒有稅負與交易成本、可持有至到期、沒有提前贖回或賣回條款。

實際債券還可能面臨：信用風險（發行機構違約）、流動性風險、再投資風險、通膨風險、匯率風險、提前贖回風險、法律與契約風險。

19債券工具的網站整合

• 在「固定收益」導覽下增加「債券評價與利率風險」入口
• 工具頁底部連結至債券入門文章、存續期間教材
• 固定收益考照題庫中加入「相關工具」連結至本頁

20關鍵字

21實作練習

JavaScript 前台版本可以在瀏覽器中真的執行，所以本章挑戰任務（04 分頁）延續第一、二、三、五、七章的即時執行模式：修改真正會執行的程式碼，系統會即時告訴你哪裡出錯。